Question

11．长为1，宽为a的矩形纸片（0.5＜a＜l），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）：再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作），如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据所给的图形可以看出每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，同理得出第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边的长分别是1-a和2a-1，第三次操作分两种情况进行讨论：①当1-a＞2a-1时，第三次操作后，剩下的长方形两边长分别是（1-a）-（2a-1）和2a-1；②当1-a＜2a-1时，第三次操作后，剩下的长方形两边长分别是（2a-1）-（1-a）和1-a，并且剩下的长方形恰好是正方形，即可求出a的值．

解答 解：当n=3时，即第三次操作，∵长为1，宽为a的长方形纸片（$\frac{1}{2}$＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，
同理，第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1，
第三次操作分两种情况进行讨论：
①当1-a＞2a-1时，
由题意得：（1-a）-（2a-1）=2a-1，
解得：a=$\frac{3}{5}$，当a=$\frac{3}{5}$时，1-a＞2a-1，∴a=$\frac{3}{5}$是所求的一个值；
②当1-a＜2a-1时，
由题意得：（2a-1）-（1-a）=1-a，
解得：a=$\frac{3}{4}$，当a=$\frac{3}{4}$时，1-a＜2a-1，∴a=$\frac{3}{4}$是所求的一个值；
故答案为：$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了折叠问题、矩形的性质、正方形的性质、一元一次方程的应用等知识；解题的关键是分别求出每次操作后剩下的矩形的两边的长度．