Question

【题目】（感知）“如图①，，平分，作，、分别交射线、于、两点，连结，求的度数”为了求解问题，某同学做了如下的分析，

“过点作于点，于点，”进而求解，则________．

（拓展）如图②，一般地，设，平分，作，、分别交射线、于、两点，连结．

（1）求的度数．（用含的代数式表示）

（2）若，，，则________．

Answer 1

【答案】45；（1）；（2）．

【解析】

先证明四边形ODCE是矩形,得∠DCA＝∠BCE,再证明△CAD≌△CBE（ASA）,得AC＝BC,进而可求得∠ABC;

（1）过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,证明△ACD≌△BCE（ASA）,即可求得∠ABC;

（2）过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,证明△ACD≌△BCE（ASA）,△OCD≌△OCE（HL）,可求得OD＝OE＝5,再利用特殊角三角函数值即可．

解：【感知】如图①,∵CD⊥OM,CE⊥ON,

∴∠CDO＝∠CEO＝∠MON＝90°,

∴四边形ODCE是矩形,

∴∠DCE＝∠ACB＝90°,

∴∠DCA+∠ACE＝∠BCE+∠ACE,

∴∠DCA＝∠BCE,

∵OC平分∠MON,

∴CD＝CE,

∴△CAD≌△CBE（ASA）,

∴AC＝BC,

∴∠CAB＝∠CBA,

∵∠CAB+∠CBA＝90°,

∴∠CAB＝∠CBA＝45,°

故答案为:45°;

【拓展】

(1)如图②,过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,

∴∠ADC＝∠BEC＝90°,

∵OC平分∠MON,

∴CD＝CE,

∵∠DCE＝180°﹣α,∠ACB＝180°﹣α,

∴∠DCE＝∠ACB,

∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE,

即∠DCA＝∠ECB,

∴△ACD≌△BCE（ASA）,

∴CA＝CB,

∴∠ABC＝∠BAC＝;

（2）如图③,过点C作CD⊥OM于点D,CE⊥ON于点E,

由（1）知:△ACD≌△BCE（ASA）,△OCD≌△OCE（HL）,

∴AD＝BE,OD＝OE

∵OD+OE＝OA﹣AD+OB+BE＝OA+OB＝6+4＝10,

∴OD＝OE＝5,

∵OC平分∠MON,

∴∠AOC＝∠MON＝30°,

∵＝cos∠AOC,

∴OC＝．