Question

16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+6的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点A的坐标为（-8，0）．
（1）点B的坐标为（0，6）；
（2）在第二象限内是否存在点P，使得以P、O、A为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符台条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0可得y=6，由此可知B（0，6）；
（2）如图，以OA、OB为边作矩形OAP₃B，连接OP₃，作OP₁⊥AB于P₁，作AP₂⊥OP₃于P₂．易证△OAP₁，△OAP₂，△OAP₃均与△AOB相似，易知P₃（-8，6）．构建一次函数求出交点P₁、P₂的坐标，再由当△OAP₄∽△BOA时，可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{O{P}_{4}}{OA}$，推出OP₄=$\frac{32}{3}$，由此可得P₄的坐标；

解答 解：（1）令x=0，得到y=6，
∴B（0，6）．
故答案为（0，6）．

（2）如图，以OA、OB为边作矩形OAP₃B，连接OP₃，作OP₁⊥AB于P₁，作AP₂⊥OP₃于P₂．

易证△OAP₁，△OAP₂，△OAP₃均与△AOB相似，易知P₃（-8，6）．
∵直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6，
∴直线OP₁的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{72}{25}}\\{y=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$，
∴P₁（-$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$），
∵直线OP₃的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，
∴直线OP₂的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x}\\{y=\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{128}{25}}\\{y=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$，
∴P₂（-$\frac{128}{25}$，$\frac{96}{25}$），
当△OAP₄∽△BOA时，
可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{O{P}_{4}}{OA}$，
∴OP₄=$\frac{32}{3}$，
∴P₄（-8，$\frac{32}{3}$），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P₁（-$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$），P₂（-$\frac{128}{25}$，$\frac{96}{25}$），P₃（-8，6），P₄（-8，$\frac{32}{3}$）．

点评 此题考查了一次函数综合题相似三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．