Question

10．如图，在?ABCD中，AB=4，AD=6，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，交BC于E、F两点．
（1）探索AE与DF的位置关系；
（2）试求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，易求得∠EAD+∠ADF=90°，继而可得AE⊥DF；
（2）易证得△ABE与△CDF是等腰三角形，则可求得BE=CF=AB=4，继而求得答案．

解答 解：（1）AE⊥DF．
理由：设AE与DF相较于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠DAE+∠ADF=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AMD=90°，
即AE⊥DF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=4，BC=AD=6，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠CFD，
∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CDF=∠CFD，
∴AB=BE，CD=CF，
∴BE=CF=4；
∴EF=BE+CF-BC=4+4-6=2．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ABE与△CDF是等腰三角形是关键．