Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中．抛物线y=mx²-2mx-3m（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）点A的坐标为（-1，0）抛物线的对称轴为x=1
（2）经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．且AD=5AC．
①求直线l的函数表达式（其中k、b用含m的式子表示）；
②设P是抛物线的对称轴上的一点．点Q在抛物线上．以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点p的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设y=0即可求出的A坐标，根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$可以求出对称轴．
（2）①如图1，作DF⊥x轴于F，由DF∥OC得$\frac{OF}{OA}=\frac{CD}{AC}$=4，可以求出点D坐标，由A、D坐标可以求出直线AD．
②分两种情形讨论即：Ⅰ若AD是矩形的一条边，利用勾股定理列出方程解决；Ⅱ如图3中，若AD是矩形的一条对角线，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则mx²-2mx-3m=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），对称轴x=-$\frac{-2m}{2m}$=1，
故答案分别为A（-1，0），x=1．
（2）①如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{CD}{AC}$，
∵AD=5AC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{DC}{AC}$=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=mx²-2mx-3m得，y=5m，
∴D（4，5m），
把A、D坐标代入y=kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=5m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直线l的函数表达式为y=mx+m．
②Ⅰ若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知x_D-x_P=x_A-x_Q，可知Q点横坐标为-4，将x=-4代入抛物线方程得Q（-4，21m），
y_P=y_D+y_Q=5m+21m=26m，则P（1，26m），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∵AD²=[4-（-1）]²+（5m）²=5²+（5m）²，
PD²=[1-4]²+（26m-5m）²=3²+（21m）²，
PA²=（1+1）²+（26m）²
∴5²+（5m）²+3²+（21m）²=2²+（26m）²
∴m²=$\frac{1}{7}$，∵m＜0，∴m=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．
Ⅱ如图3中，若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，2.5m），点P的横坐标为1，则Q（2，-3m），由AQ²+QD²=AD²，得到3²+（3m）²+2²+（8m）²=5²+（5m）²，
解得m²=$\frac{1}{4}$，∵m＜0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴点P坐标（1，-4）
综上所述点P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）或（1，-4）．

点评 本题考查二次函数的有关知识，一次函数的有关知识，矩形的性质，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．