Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、AM分别是∠ABC、∠BAC的平分线，DN⊥BC，GF⊥BD，求证：MN=$\frac{1}{4}$BF．

Answer 1

分析 过D作DK∥BC交AB于K，推出△GBD≌△FBD，根据全等三角形的性质得到BG=BF，DG=DF，根据三角形的中位线的性质得到BK=KG，由直角三角形的性质得到DK=$\frac{1}{2}$BG，根据等腰三角形的性质得到DE=$\frac{1}{2}$DK，通过四边形EMND是矩形，得到DE=MN，等量代换得到结论．

解答 证明：过D 作DK∥BC交AB于K，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△GBD与△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FDB}\\{∠GBD=∠FBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△GBD≌△FBD，
∴BG=BF，DG=DF，
∵DK∥BC，
∴BK=KG，
∵BD⊥GF，
∴DK=$\frac{1}{2}$BG，
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∴AM⊥DK，
∴AK=AD，
∴DE=$\frac{1}{2}$DK，
∵∠DEM=∠EMN=∠DNM=90°，
∴四边形EMND是矩形，
∴DE=MN，
∴MN=$\frac{1}{2}$DK=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{4}$BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．