Question

7．关于x的一元二次方程为（m-1）x²-2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法解方程易得x₁=$\frac{m+1}{m-1}$，x₂=1；
（2）由于x=1为正整数，则x=$\frac{m+1}{m-1}$为正整数，先变形为1+$\frac{2}{m-1}$，然后利用整数的整除性可确定m的值为2或3．

解答 解：（1）[（m-1）x-（m+1）]（x-1）=0，
（m-1）x-（m+1）=0或x-1=0，
所以x₁=$\frac{m+1}{m-1}$，x₂=1；
（2）x=$\frac{m+1}{m-1}$=1+$\frac{2}{m-1}$，
由于m为整数，
所以当m-1=1或2时，x=$\frac{m+1}{m-1}$为正整数，此时m=2或m=3，
所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．