Question

6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
求证：（1）AC²=AD•AB；
（2）CD²=BD•AD．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC²=AD•AB，只要证明△ACD∽△ABC即可．
（2）欲证明CD²=BD•AD．，只要证明△CDB∽△ADC即可．

解答 证明：（1）∵∠A=∠A，∠CDA=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB．

（2）∵∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠CDB=∠CDA=90°，
∴△CDB∽△ADC，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DB}{CD}$，
∴CD²=BD•AD．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．