Question

3．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？

Answer 1

分析 （1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分线的定义可知∠MOC=$\frac{1}{2}$α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC=$\frac{1}{2}$β+15°，∠CON=$\frac{1}{2}$β，最后根据∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（4）根据计算结果找出其中的规律即可．

解答 解：（1）∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=90°+30=120°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=60°-15°=45°；
（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，
∴∠AOC=α+30°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$α+15°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α+15°-15°=$\frac{1}{2}$α．
（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=β+90°．
由角平分线的性质可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β+45°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$β+45°-$\frac{1}{2}$β=45°．
（4）根据（1）、（2）、（3）可知∠MON=$\frac{1}{2}$∠BOA，与∠BOC的大小无关．

点评 本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得∠MOC和∠CON的大小，然后再依据∠MON=∠MOC-∠CON求解是解题的关键．