Question

17．如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作AF⊥BE．垂足为点F，且AF=BE，过点F作MN∥BC，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，得到两组对边平行，四个角为直角，对角线相等，根据MN与BC平行，得到MN与AD平行，可得出四边形AMND是平行四边形，由一个角为直角的平行四边形是矩形得到AMND是矩形，得到∠AMN=90°，根据AF与BE垂直，得到一对直角相等，利用AAS得到三角形AFM与三角形BEC全等，利用全等三角形对应边相等得到AM=BC，根据AD=BC，得到AM=AD，利用邻边相等的矩形是正方形即可得证．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD=∠C=∠ABC=90°，BC=AD，
∵MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵AB∥CD，
∴四边形AMND是平行四边形，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠AMN=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
又∵∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC，
在△AFM和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAM=∠EBC}\\{∠AMF=∠C=90°}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△BEC（AAS），
∴AM=BC，
又∵AD=BC，
∴AM=AD，
又∵四边形AMND是矩形，
∴四边形AMND是正方形．

点评 此题考查了正方形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．