Question

1．如图，已知AB为⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC，BD交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点M为BE上一点，且满足EM•EB=CE²，连接CM，求证：CM为⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由半圆的三等分点，得$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，连接OC、OD，则∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证得△AOC、△DOB为正三角形，得出∠EAB=∠EBA=60°，即可得出结果；（2）连接BC，由$\frac{EM}{CE}$=$\frac{CE}{EB}$，∠E=∠E，证得△CEM∽△BEC，由AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，∠ECB=90°，由△CEM∽△BEC得出∠EMC=∠ECB=90°，由∠AOC=∠DOB=60°，证得OC∥BE，证得∠OCM=90°，即可得出结论．

解答 （1）解：∵C、D是半圆的三等分点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DB}$，
连接OC、OD，如图1所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC=OD=OB，
∴△AOC、△DOB为正三角形，
∴∠EAB=∠EBA=60°，
∴∠E=60°；
（2）证明：连接BC，如图2所示：
∵EM•EB=CE²，
∴$\frac{EM}{CE}$=$\frac{CE}{EB}$，
∵∠E=∠E，
∴△CEM∽△BEC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECB=90°，
∴∠EMC=∠ECB=90°，
∵∠AOC=∠DOB=60°，
∴OC∥BE，
∵∠EMC=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、正三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．