Question

12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AE、BE分别平分∠BAD、∠CBA，求证：AB=AD+BC．

Answer 1

分析 过E作EF∥AD，由平行线的性质定理得到∠ABC+∠BAC=180°，根据平行线等分线段定理得到BF=AF，根据梯形中位线定理有2EF=AD+BC，由AE、BE分别平分∠BAD、∠CBA，得到∠BAD+∠CBA=90°，于是∠AEB=90°，由直角三角形斜边上的中线定理得到AB=2EF，即可得到结论．

解答 解：过E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴BC∥EF∥AD，
∴∠ABC+∠BAC=180°，
∵E为CD的中点，
∴BF=AF，2EF=AD+BC，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠CBA，
∴∠BAD+∠CBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB=2EF，
∴AB=AD+BC．

点评 本题主要考查了梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线定理，平行线性质定理，正确作出辅助线，熟练应用梯形的中位线性质定理是解决问题的关键．