Question

17．已知抛物线y=2x²-4x-1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点为P．求：
（1）AB的长；
（2）△ABC的面积；
（3）四边形ABPC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式求出A、B的坐标，进而得到AB的长；
（2）先求出点C的坐标，再以AB为底，OC为高求出△ABC的面积；
（3）先求出顶点P的坐标，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，再根据S_{四边形ABPC}=S_△AOC+S_梯形OCPM+S_△BMP，计算即可求解．

解答 解：（1）∵y=2x²-4x-1，
∴令y=0，得2x²-4x-1=0，
求得A（$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，0），B（$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，0），
∴AB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$-$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{6}$；

（2）∵y=2x²-4x-1，
∴令x=0，得C（0，-1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×1=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；

（3）∵y=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴顶点P（1，-3）．
设抛物线的对称轴与x轴交于点M，则M（1，0）．
S_{四边形ABPC}=S_△AOC+S_梯形OCPM+S_△BMP
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+3）×1+$\frac{1}{2}$×3×（$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$-1）
=$\frac{\sqrt{6}-2}{4}$+2+$\frac{3\sqrt{6}}{4}$
=$\sqrt{6}$+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．