Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，过点（t，0）且平行于y轴的直线（0＜t＜8），与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）当t=2时，求△BMN的面积；
（2）若MA⊥AB，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求出反比例函数和直线AB的解析式，利用t=2得出M和N的坐标，进而求出△BMN的面积；
（2）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．

解答 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
设直线AB的解析式为：y=ax+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{8a+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-3；
当t=2时，M（2，4），N（2，-2），
则MN=6，
∴△BMN的面积=$\frac{1}{2}$×6×2=6；

（2）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=-2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=-2x+17，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+17}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去），
∴M的坐标为（$\frac{1}{2}$，16），
∴t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式．