Question

如图①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图①，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=

 

；
（2）若（1）中的∠B=α，∠ACB=β，则∠CFE=

 

；（用α、β表示）
（3）如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE-∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE=90°-∠ECF解决问题．

解答： 解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=60°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°，
（2）∵∠BAE=90°-∠B，∠BAD=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠BCA）
∴∠CFE=∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-

1

2

（180°-∠B-∠BCA）=

1

2

（∠BCA-∠B）=

1

2

β-

1

2

α．
（3）成立．      
∵∠B=α，∠ACB=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF=∠DAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∴∠BCF=β+90°-

1

2

α-

1

2

β=90°-

1

2

α+

1

2

β，
∴∠ECF=180°-∠BCF=90°+

1

2

α-

1

2

β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°-∠ECF=

1

2

β-

1

2

α．

点评：此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．