Question

14．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°．
（1）∠B的度数是45°；
（2）若AO=$2\sqrt{3}$，CD与OB交于点E，则BE=3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）作CM⊥OB于M，EN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得出M=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，由等腰直角三角形的性质求出BC=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{6}$，作EN⊥BC于N，设EN=a，求出CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$a，BN=EN=a，由BN+CN=BC得出方程，解方程求出BN，即可得出结果．

解答 解：（1）由旋转的性质得：OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，
∴∠OCD=∠A=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-75°-60°=45°，
故答案为：45°；
（2）作CM⊥OB于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵∠MOC=60°-30°=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，
∵∠B=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{6}$，
作EN⊥BC于N，设EN=a，
∵∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$a，
∵∠B=45°，
∴BN=EN=a，
∵BN+CN=BC，
∴a+$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$，
解得：a=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$=3-$\sqrt{3}$；
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，通过作辅助线证明三角形是等腰直角三角形是解决问题（2）的关键．