Question

13．如图，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，OB=8，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．

解答 解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PM≤MS+PS，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC=∠OAD，
∴O、B、P、A共圆，
∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，
∴PS=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS=$\frac{1}{2}$OB=4，
∴MP的最大值是4+5=9，
故选：C．

点评 本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．