Question

在菱形ABCD中点EF分别在BC、CD上，AE交BD于G，连结AF、EF，EF∥BD．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）若又有GF∥BC，求BG：DG的值．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△ADF，则该全等三角形的对应角相等：∠BAE=∠DAF；
（2）设BG=x，GD=y，DF=a，FC=b，则BE=GF=a，AD=DC=a+b．根据平行线分线段成比例来求BG：DG的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF，
∵EF∥BD，
∴CE=CF，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠ABE=∠ADF BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF；

（2）设BG=x，GD=y，DF=a，FC=b，则BE=GF=a，AD=DC=a+b
∵GF∥BC，
∴BG：GD=CF：DF，
∴X：Y=b：a
∵BE∥AD，
∴BG：GD=BE：AD，
∴X：Y=a：（a+b）
∴b：a=a：（a+b）
∴a²-ab-b²=0
（

b

a

）²-

b

a

-1=0
∴

b

a

=

5-1

2

5 +1

2

或（

b

a

=

- 5 -1

2

舍弃）
∴BG：DG=（

5

-1）：2．

点评：本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及平行线分线段成比例的性质．