Question

3．在△ABC中，过A点作直线DE∥BC，点P在线段AC上，∠FPM=∠B，且两边分别交AB，DE于点F、M

（1）若AC=BC，∠ACB=90°，猜想PF与PM的数量关系并证明；
（2）AB=m，BC=n，求$\frac{PF}{PM}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由DE∥BC，得出∠DAB=∠B，而∠FPM=∠B，等量代换得到∠DAB=∠FPM，那么四边形AMPF是圆内接四边形，根据圆周角定理得出∠PMF=∠PAF=45°，所以△PMF是等腰直角三角形，进而得出PM=$\sqrt{2}$PF；
（2）由（1）可知，∠PMF=∠BAC，又∠FPM=∠B，得出△ABC∽△MPF，根据相似三角形性质得到PF：BC=PM：AB，即$\frac{PF}{PM}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{n}{m}$．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DAB=∠B，
∵∠FPM=∠B，
∴∠DAB=∠FPM，
∴四边形AMPF是圆内接四边形，
∴∠PMF=∠PAF=45°，
∴△PMF是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$PF；

（2）由（1）可知，四边形AMPF是圆内接四边形，
∴∠PMF=∠BAC，
∵∠FPM=∠B，
∴△ABC∽△MPF，
∴PF：BC=PM：AB，
即$\frac{PF}{PM}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{n}{m}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，四点共圆，圆周角定理，证明四边形AMPF是圆内接四边形是解题的关键．