题目内容
16．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元．| 薄板的边长（cm） | 20 | 30 |
| 出厂价（元/张） | 50 | 70 |
（2）若一张薄板的利润是34元，且成本最低，此时薄板的边长为多少？
（3）若限定薄板的边长不超过20cm，浮动价下降a%，其他条件不变，薄板的利润随边长的增加而增大时，直接写出a的取值范围．
分析 （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②根据题意得出二次函数的解析式，根据二次函数的最值时的x的取值即可．
解答 解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．
由表格中的数据，$\left\{\begin{array}{l}{50=20k+n}\\{70=30k+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=10}\end{array}\right.$．
所以y=2x+10；
（2）设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：
p=y-mx2=2x+10-mx2，
将x=40，p=26代入p=2x+10-mx2中，
得26=2×40+10-m×402．
解得：m=$\frac{1}{25}$，
所以p=-$\frac{1}{25}$x2+2x+10．
把P=34代入得，34=-$\frac{1}{25}$x2+2x+10．
整理得，x2-50x+600=0，
解得x1=20，x2=30，
所以，一张薄板的利润是34元，且成本最低，此时薄板的边长为20cm；
（3）由题意，得：p′=2x×a%+10-$\frac{1}{25}$x2，
整理得，p′=-$\frac{1}{25}$x2+2a%x+10，
因为限定薄板的边长不超过20cm，
所以x=-$\frac{2a%}{2×（-\frac{1}{25}）}$≤20，
解得a≤80，
所以a的取值范围为：0＜a≤80；
点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的最值以及解一元二次方程等，根据题意列出关系式是解题的关键．
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