Question

9．如图，己知∠AOB=90°，过点O作直线CD，作OE⊥CD于点O．
（l）图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；
（2）若∠AOD=70°，求∠BOC的度数；
（3）将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分∠DOE，求此时∠AOD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义可得∠DOB+∠BOE=90°，再根据同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；
（2）根据余角定义可得∠BOD=20°，再根据邻补角互补可得∠BOC的度数；
（3）根据角平分线性质可得∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，再根据角的和差关系可得答案．

解答 解：（1）∠AOD=∠BOE，
∵OE⊥CD于点O，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠AOD=∠BOE；

（2）∵∠AOD=70°，∠AOB=90°，
∴∠BOD=20°，
∴∠BOC=180°-20°=160°；

（3）如图1所示：
∵OB所在的直线平分∠DOE，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD=90°-45°=45°．
如图2所示：∵OB所在的直线平分∠DOE，
∴∠DOB′=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOB′=90°，
∴∠AOD=90°+45°=135°．
综上所述：此时∠AOD的度数为45°或135°．

点评 此题主要考查了垂线，以及余角，补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．