Question

5．如图1，△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，AB=5，将△ABC绕着点B旋转一定的角度，得到△DEB 
（1）若点F为AB边上中点，连接EF，则线段EF的范围为0.5≤EF≤5.5
（2）如图2，当△DEB直角顶点E在AB边上时，延长DE，交AC边于点G，请问线段DE、EG、AG具有怎样的数量关系，请写出探索过程．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用旋转的性质得BE=BC=3，再根据三角形三边的关系得BE-BF≤EF≤BE+BF（当且仅当B、E、F共线时取等号），从而得到线段EF的范围；
（2）如图2，利用旋转的性质得BE=BC=3，BD=BA=5，DE=AC=4，∠A=∠D，再判断△AGE∽△DEB，然后利用相似比计算出AG、EG，从而可得到线段DE、EG、AG的数量关系．

解答 解：（1）如图1，∵点F为AB边上中点，
∴BF=2.5，
∵△ABC绕着点B旋转一定的角度得到△DE，
∴BE=BC=3，
∵BE-BF≤EF≤BE+BF（当且仅当B、E、F共线时取等号），
∴0.5≤EF≤5.5．
故答案为0.5≤EF≤5.5；
（2）AG+EG=DE．
理由如下：如图2，
∵△ABC绕着点B旋转一定的角度得到△DE，
∴BE=BC=3，BD=BA=5，DE=AC=4，∠A=∠D，
∴AE=AB-BE=2，
∵∠A=∠D，∠AEG=∠BED，
∴△AGE∽△DEB，
∴$\frac{AG}{BD}$=$\frac{EG}{BE}$=$\frac{AE}{DE}$，即$\frac{AG}{5}$=$\frac{EG}{3}$=$\frac{2}{4}$，
∴AG=2.5，EG=1.5，
∴AG+EG=4，
∴AG+EG=DE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．