Question

9．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为$\widehat{BC}$的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA=DF=6$\sqrt{3}$，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；
（2）直接利用得出S_△ACD=S_△COD，再利用S_阴影=S_△AED-S_扇形COD，求出答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵D为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；

（2）解：连接OC与CD，
∵DA=DF，
∴∠BAD=∠F，
∴∠BAD=∠F=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，
∴∠F=30°，∠BAC=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，∠COB=120°，
∵OD⊥EF，∠F=30°，
∴∠DOF=60°，
在Rt△ODF中，DF=6$\sqrt{3}$，
∴OD=DF•tan30°=6，
在Rt△AED中，DA=6$\sqrt{3}$，∠CAD=30°，
∴DE=DA•sin30$°\sqrt{3}$，EA=DA•cos30°=9，
∵∠COD=180°-∠AOC-∠DOF=60°，
∴CD∥AB，
故S_△ACD=S_△COD，
∴S_阴影=S_△AED-S_扇形COD=$\frac{1}{2}$×9×3$\sqrt{3}$-$\frac{60}{360}$π×6²=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-6π．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出S_△ACD=S_△COD是解题关键．