Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的性质定理得到$\frac{BE}{EC}$=$\frac{DE}{EA}$，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）设AC=m，根据正切的定义得到DC=3m，根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答 （1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{DE}{EA}$，又∠BED=∠CEA，
∴△BDE∽△CAE；
（2）解：∵抛物线y=ax²+bx+4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，
∵tan∠DAC=3，
∴$\frac{DC}{AC}$=3，
设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，
则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），
∵△BDE∽△CAE，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
∴BD²+BA²=AD²，即2²+（3m-4）²+（m+2）²+4²=m²+（3m）²，
解得，m=2，
则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a+2b+4=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+3x+4．

点评 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．