Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为4或$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．

解答 解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{5}{10}$=$\frac{AP}{8}$，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{AP}{10}$，解得AP=$\frac{25}{4}$．
故答案为：4或$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．