Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？

Answer 1

分析 在CG上截取CH=PE，连接H，易证四边形GEPH是矩形，从而可知∠GHD=90°，PH∥AB，那么就有∠PHC=∠CFP=90°，∠HPC=∠B，又AB=AC，利用等边对等角，可得∠B=∠FCP，于是∠HPC=∠FCP，再结合CP=PC，利用AAS可证△PHC≌△CFP，那么CH=PF，从而易证PE+PF=CG．

解答 证明：如图所示，在CD上截取DH=EP，并连接HP，
∵CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE∥CD，PH∥ED，∠HDE=90°，
∴四边形PHDE是矩形，
∴∠PHD=90°，
∴∠PHC=90°，
在△PHC和△CFP中，
∠PHC=∠CFP=90°，
∵PH∥AB，AB=AC，
∴∠HPC=∠B=∠FCP，
在△PHC与△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HPC=∠FCP}\\{∠PHC=∠CFP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PHC≌△CFP，
∴HC=FP，
∴PE+PF=DH+HC=CD，
即PE+PF=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；辅助线的作出是正确解答本题的关键．