Question

已知，在?ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD=PQ=QB； ②AP=CQ；③CQ=2MQ； ④S_ADP=

1

4

S_?ABCD．其中正确的结论的个数是（　　）

• A、4个
• B、、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：①由于四边形ABCD是?，那么有AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证△DPN∽△BPA，从而有DP：BP=1：2（1），同理有BQ：DQ=1：2（2），（1）、（2）联合可求DP=PQ=QB；②根据SAS易证△ADP≌△CBQ，从而有AP=CQ；③由①中知△BQM∽△DQC，利用相似三角形的性质可求CG=2MQ；④由①知P、Q是BD的三等分点，利用同底等高的三角形面积相等可知S_△ADP=

1

3

S_△ABD，而S_△ABD=

1

2

S_?ABCD，易证S_△ADP=

1

6

S_?ABCD．

解答：解：①∵四边形ABCD是?，
∴AB∥CD，
∴△DPN∽△BPA，
∴DN：AB=DP：BP，
即DP：BP=1：2（1），
同理有BQ：DQ=1：2（2），
（1）、（2）联合和得：DP=PQ=QB，
故①正确；
②在△ADP和△CBQ中，
∵AD=BC，∠ADP=∠CBQ，DP=BQ，
∴△ADP≌△CBQ，
∴AP=CQ，
故②正确；
③由①中知△BQM∽△DQC，
∴MQ：CQ=1：2，
即CG=2MQ，
故③正确；
④由①知P、Q是BD的三等分点，
∴S_△ADP=

1

3

S_△ABD，
又∵S_△ABD=

1

2

S_?ABCD，
∴S_△ADP=

1

6

S_?ABCD，
故④错误．
故选B．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算．