Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根据等腰梯形同一底上的两个角相等，可证得∠BAE=∠CDE，继而可证得△BAE≌△CDE，则可证得BE=CE；
（2）首先延长CD和BE的延长线交于H，易证得△BEG≌△CEH与△GED≌△HED，则可证得BG=DG+CD．

解答 解：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，
∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠BAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；
（2）延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，
∴∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
在△BEG和△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ECH}\\{BE=CE}\\{∠BEC=∠CEH=90°}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CEH（ASA），
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE，
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
在△GED和△HED中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EH}\\{∠GED=∠HED}\\{ED=ED}\end{array}\right.$，
∴△GED≌△HED（SAS），
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD

点评 此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．