Question

2．如图1，在?ABCD中，AB=2$\sqrt{5}$，tanB=2，点E是AD边的中点，CE的延长线与BA的延长线相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）点F是线段BP上一点，且CF⊥BP，连接EF；
①若AF=$\frac{1}{2}$AB，直接写出EF的长；
②如图2，若BC=4$\sqrt{5}$，∠FED与∠PFE之间的数量关系满足∠FED=n∠PFE，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可知AE∥BC，根据平行线的性质和点E是AD边的中点，得到答案；
（2）①根据AB=2$\sqrt{5}$，AF=$\frac{1}{2}$AB，求出AF的长和BF的长，根据勾股定理求出PC，根据直角三角形的性质得到答案；
②证明∠FED=3∠PFE，求出n的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
又∵点E是AD边的中点，
∴PB=2PA，
即AP=AB；
（2）∵AF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{5}$，
又∵CF⊥BP，tanB=2，
∴FC=2$\sqrt{5}$，
PF=PA+AF=3$\sqrt{5}$，
根据勾股定理，PC=$\sqrt{P{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
由（1）得，PE=EC，
∵CF⊥BP，PE=EC，
∴EF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
②∵EF=PE=EC，
∴∠P=∠PFE，∠FEC=∠P+∠PFE=2∠PFE，
又∵AP=AE，
∴∠P=∠AEP=∠CED，
∴∠FED=3∠PFE，
∴n=3．

点评 本题考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质和平行线的性质，灵活运用性质进行解答是解题的关键，直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．