Question

8．已知实数a，b满足a-b=1，a²-ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．

Answer 1

分析 首先根据条件a-b=1，a²-ab+2＞0可确定a＞-2，然后再分情况进行讨论：①当-2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=$\frac{a}{2}$，最小值是y=a，②当a＞0，1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=a，最小值是y=$\frac{a}{2}$，再分别根据最大值与最小值之差是1，计算出a的值．

解答 解：∵a²-ab+2＞0，
∴a²-ab＞-2，
a（a-b）＞-2，
∵a-b=1，
∴a＞-2，
①当-2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=$\frac{a}{2}$，最小值是y=a，
∵最大值与最小值之差是1，
∴$\frac{a}{2}$-a=1，
解得：a=-2，不合题意，舍去；
②当a＞0，1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=a，最小值是y=$\frac{a}{2}$，
∵最大值与最小值之差是1，
∴a-$\frac{a}{2}$=1，
解得：a=2，符合题意，
∴a的值是2．

点评 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．