Question

6．已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k-1）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出k的值．

解答 （1）证明：∵方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴△=（-4k-1）²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
∵kx²-（4k+1）x+3k+3=0是一元二次方程，k是整数，
∴k≠0，k≠$\frac{1}{2}$，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴a=k，b=-（4k+1），c=3k+3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（4k+1）±\sqrt{（2k-1）^{2}}}{2k}$，
∴此方程的两个根分别为x₁=3，x₂=1+$\frac{1}{k}$，
∵方程的两个实数根都是整数，k是整数，
∴k=1或k=-1．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．