题目内容
在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴C、D于两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于点G点，若点C的坐标为（0，2
）．
（1）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（2）若CE∥AB，直线y=kx-1（k≠0）将四边形ACEB面积二等分，求k的值；
（3）如图2，过O、P（2，2）作⊙O1交x轴正半轴于G，交y轴负半轴于H，I为△GOH的内心，过I作IN⊥GH于N，当⊙O1的大小变化时，试说明GN-NH的值不变并求其值．
| 3 |
（1）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（2）若CE∥AB，直线y=kx-1（k≠0）将四边形ACEB面积二等分，求k的值；
（3）如图2，过O、P（2，2）作⊙O1交x轴正半轴于G，交y轴负半轴于H，I为△GOH的内心，过I作IN⊥GH于N，当⊙O1的大小变化时，试说明GN-NH的值不变并求其值．
考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,三角形中位线定理,正方形的判定与性质,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理
专题：综合题
分析：（1）连接AC，设AE与BC的交点为F，如图1①，由题可知AM=BM，要证MG∥BC，只需证AG=FG，由于∠ACF=90°，只需证AG=CG即可．
（2）连接AC、CE、BE，设AE与BC的交点为F，直线y=kx-1与CE交于P，与AB交于Q，如图1②．由条件CE∥AB可求出∠ACO的度数，进而可求出CE、AB的长．用k的代数式表示出CP、AQ的长度，然后根据条件列出关于k的方程，就可求出k的值．
（3）过点I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，过点P作PC⊥y轴于C，作PD⊥x轴于D，连接IO、IH、IG、PH、PG，如图2，根据角平分线的性质可得IA=IB=IN，运用勾股定理可得AH=NH，GN=GB，OA=OB，从而可得GN-NH=OG-OH．易证矩形OCPD是正方形，从而有∠CPD=90°，PC=PD．进而可证到△PCH≌△PDG，则有CH=DG，即CO+OH=OG-OD，从而有OG-OH=4，进而可得GN-NH=OG-OH=4，问题得以解决．
（2）连接AC、CE、BE，设AE与BC的交点为F，直线y=kx-1与CE交于P，与AB交于Q，如图1②．由条件CE∥AB可求出∠ACO的度数，进而可求出CE、AB的长．用k的代数式表示出CP、AQ的长度，然后根据条件列出关于k的方程，就可求出k的值．
（3）过点I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，过点P作PC⊥y轴于C，作PD⊥x轴于D，连接IO、IH、IG、PH、PG，如图2，根据角平分线的性质可得IA=IB=IN，运用勾股定理可得AH=NH，GN=GB，OA=OB，从而可得GN-NH=OG-OH．易证矩形OCPD是正方形，从而有∠CPD=90°，PC=PD．进而可证到△PCH≌△PDG，则有CH=DG，即CO+OH=OG-OD，从而有OG-OH=4，进而可得GN-NH=OG-OH=4，问题得以解决．
解答：解：（1）连接AC，设AE与BC的交点为F，如图1①，
∵AB是⊙M的直径，AB⊥CD，
∴∠ACB=90°，
=
．
∵
=
，
∴
=
．
∴∠ACD=∠CAE．
∴GA=GC，∠GCF=90°-∠ACD=90°-∠CAE=∠CFG．
∴GC=GF．
∴AG=GF．
∵AM=BM，
∴MG∥BC．
（2）连接AC、CE、BE，设AE与BC的交点为F，直线y=kx-1与CE交于P，与AB交于Q，如图1②．
∵CE∥AB，∴∠CEA=∠BAE．
∵
=
，∴∠CAE=∠CEA．
∴∠ACO=∠CAE=∠GAO．
∵∠AOC=90°，
∴3∠ACO=90°．
∴∠ACO=30°．
∵点C的坐标为（0，2
），
∴OC=2
．
∴A0=OC•tan∠ACO=2
×
=2．
∴点A的坐标为（-2，0），AC=2AO=4．
∵
=
，
∴EC=AC=4，∠ABC=∠CAE=30°．
∴AB=2AC=8．
∵yQ=0，
∴kxQ-1=0，即xQ=
．
∴AQ=
-（-2）=
+2．
∵点C的坐标为（0，2
），CE∥AB，
∴yP=2
．
∴kxP-1=2
，即xP=
．
∴CP=
．
∵S梯形ACPQ=
S梯形ABEC，
∴
（CP+AQ）•OC=
×
（CE+AB）•OC．
∴2（CP+AQ）=CE+AB．
∴2（
+
+2）=4+8=12．
解得：k=
．
经检验k=
是原方程的解．
∴k的值为
．
（3）过点I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，过点P作PC⊥y轴于C，作
PD⊥x轴于D，连接IO、IH、IG、PH、PG，如图2．
∵点I是△GOH的内心，
∴点I是△GOH的内角平分线的交点．
∵IA⊥OH，IB⊥OG，IN⊥GH，
∴IA=IB=IN．
∴AH=
=
=NH．
同理GN=GB，OA=OB．
∴GN-NH=GB-AH=（OG-OB）-（OH-OA）=OG-OH．
∵P点坐标为（2，2），
∴OD=OC=2．
∵PC⊥OC，PD⊥OD，OC⊥OD，
∴∠PCO=∠COD=∠PDO=90°．
∴四边形OCPD是矩形．
∵OD=OC，
∴矩形OCPD是正方形．
∴∠CPD=90°，PC=PD．
∵GH是⊙O1直径，
∴∠GPH=90°．
∴∠CPD=∠GPH．
∴∠CPH=∠DPG．
在△PCH和△PDG中，
．
∴△PCH≌△PDG（ASA）．
∴CH=DG．
∴CO+OH=OG-OD．
∴2+OH=OG-2．
∴OG-OH=4．
∴GN-NH=OG-OH=4．
∴GN-NH的值不变，其值为4．
∵AB是⊙M的直径，AB⊥CD，
∴∠ACB=90°，
 |
| AD |
|
| AC |
∵
|
| AC |
|
| EC |
∴
|
| AD |
|
| EC |
∴∠ACD=∠CAE．
∴GA=GC，∠GCF=90°-∠ACD=90°-∠CAE=∠CFG．
∴GC=GF．
∴AG=GF．
∵AM=BM，
∴MG∥BC．
（2）连接AC、CE、BE，设AE与BC的交点为F，直线y=kx-1与CE交于P，与AB交于Q，如图1②．
∵CE∥AB，∴∠CEA=∠BAE．
∵
|
| CE |
|
| AC |
∴∠ACO=∠CAE=∠GAO．
∵∠AOC=90°，
∴3∠ACO=90°．
∴∠ACO=30°．
∵点C的坐标为（0，2
| 3 |
∴OC=2
| 3 |
∴A0=OC•tan∠ACO=2
| 3 |
| ||
| 3 |
∴点A的坐标为（-2，0），AC=2AO=4．
∵
|
| AC |
|
| EC |
∴EC=AC=4，∠ABC=∠CAE=30°．
∴AB=2AC=8．
∵yQ=0，
∴kxQ-1=0，即xQ=
| 1 |
| k |
∴AQ=
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
∵点C的坐标为（0，2
| 3 |
∴yP=2
| 3 |
∴kxP-1=2
| 3 |
2
| ||
| k |
∴CP=
2
| ||
| k |
∵S梯形ACPQ=
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴2（CP+AQ）=CE+AB．
∴2（
2
| ||
| k |
| 1 |
| k |
解得：k=
| ||
| 2 |
经检验k=
| ||
| 2 |
∴k的值为
| ||
| 2 |
（3）过点I作IA⊥OH于A，作IB⊥OG于B，过点P作PC⊥y轴于C，作
PD⊥x轴于D，连接IO、IH、IG、PH、PG，如图2．
∵点I是△GOH的内心，
∴点I是△GOH的内角平分线的交点．
∵IA⊥OH，IB⊥OG，IN⊥GH，
∴IA=IB=IN．
∴AH=
| IH2-IA2 |
| IH2-IN2 |
同理GN=GB，OA=OB．
∴GN-NH=GB-AH=（OG-OB）-（OH-OA）=OG-OH．
∵P点坐标为（2，2），
∴OD=OC=2．
∵PC⊥OC，PD⊥OD，OC⊥OD，
∴∠PCO=∠COD=∠PDO=90°．
∴四边形OCPD是矩形．
∵OD=OC，
∴矩形OCPD是正方形．
∴∠CPD=90°，PC=PD．
∵GH是⊙O1直径，
∴∠GPH=90°．
∴∠CPD=∠GPH．
∴∠CPH=∠DPG．
在△PCH和△PDG中，
|
∴△PCH≌△PDG（ASA）．
∴CH=DG．
∴CO+OH=OG-OD．
∴2+OH=OG-2．
∴OG-OH=4．
∴GN-NH=OG-OH=4．
∴GN-NH的值不变，其值为4．
点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系、三角形的内心、三角形的中位线定理、垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、特殊角的三角函数值、勾股定理、梯形的面积公式等知识，综合性非常强，将GN-NH转化为OG-OH并证到CH=DG是解决第（3）题的关键．
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已知，如图，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为已知二次函数y=x2-2x-1，当-2≤x≤6时，y的最大值和最小值是（ ）
| A、23，7 | B、23，-2 |
| C、7，-2 | D、0，-2 |
2009个不全相等的有理数之和为0，则这2009个有理数中（ ）
| A、至少有一个0 |
| B、至少有1005个正数 |
| C、至少有一个是负数 |
| D、至少有2008个负数 |