Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3交y轴于点A，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象于点D，y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）求△AOD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积求出AB，求出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC的面积为4，双曲线在第二象限，
∴k=-4，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{4}{x}$；
（2））∵直线y=-x+3交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，3），即OA=3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为（-1，4），
∴△AOD的面积=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的系数k的几何意义、解方程组求出反比例函数与一次函数的交点是解题的关键．