Question

【题目】矩形中，线段绕矩形外一点顺时针旋转，旋转角为，使点的对应点落在射线上，点的对应点在的延长线上．

（1）如图1，连接、、、，则与的大小关系为______________．

（2）如图2，当点位于线段上时，求证：；

（3）如图3，当点位于线段的延长线上时，，，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由旋转得：旋转角相等，可得结论；
（2）证明△AOB≌△EOF（SAS），得∠OAB=∠OEF，根据平角的定义可得结论；
（3）如解图，根据等腰三角形的性质得：∠OFB=∠OBF=30°，∠OAE=∠AEO=30°，根据30度角的直角三角形的性质分别求得OB、OG、BF，勾股定理求得BE的长，再根据三角形面积公式即可求得结论．

（1）由旋转得：∠AOE=∠BOF=，
故答案为：相等；

（2）∵，

∴，

在△AOB和△EOF中

，

∴△AOB≌△EOF（SAS），

∴，

∵OA=OE，

∴，

∴

；

（3）如图，过点O作 ，垂足为G，

根据旋转的性质知：∠BOF=120°，∠AOB=∠EOF，OB=OF，

△BOF中，∠OFB=∠OBF=30°，
∴∠ABO=60°，
△AOE中，∠AOE=120°，OA=OE，
∴∠OAE=∠AEO=30°，
∴∠AOB=90°，
在△AOB和△EOF中

，

∴△AOB≌△EOF（SAS），

∴，

在中，∠AOB=90°，，∠OAB=30°，

∴，

在中，∠OGB=90°，，∠OBG=30°，

∴，，

∴，

在中，∠EBF=90°，，，

∴，

∴

．