Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°．

（1）判断CG与圆O的关系，并说明理由；

（2）若CD=6，求线段GF的长度．

Answer 1

【答案】（1）CG是圆O的切线，证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180-∠D-∠G=120，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；

（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出GF的长即可．

解：

（1）证明：连接OC．

∵OC＝OD，∠D＝30，

∴∠OCD＝∠D＝30，

∵∠G＝30，

∴∠DCG＝180﹣∠D﹣∠G＝120，

∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90，

∴OC⊥CG．

又∵OC是⊙O的半径．

∴CG是⊙O的切线．

（2）∵∠D＝∠G＝30，

∴CG＝CD，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE＝CD＝3．

∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90，∠OCE＝30，

∴EO＝CO，，

设EO＝x，则CO＝2x．

∴（2x）2＝x2+32．

解得x＝（舍负值）．

∴CO＝．

∴FO＝．

在△OCG中，

∵∠OCG＝90，∠G＝30，

∴GO＝2CO＝．

∴GF＝GO﹣FO＝．