Question

6．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E，记∠EPD=∠1，∠EDO=∠2．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若PC=6，tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠1=∠2；
（2）连接OC，利用tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．

解答 证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠1且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠2，
∴∠1=∠2；
（2）解：连接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4
∵tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴$\frac{PD}{DO}$=$\frac{PE}{DE}$=$\frac{ED}{OE}$=2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE²+DE²=OD²，即5OE²=5²，
∴OE=$\sqrt{5}$．

点评 本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．