Question

6．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数理关系，若成立，请给予证明．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再证出∠D=∠DEB，得出DB=BE，从而证出AE=DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE=EF，再证明三角形全等，得出DB=EF，证出AE=DB．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°．
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE．
∴AE=DB．
（2）解：AE=DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．