Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=

3

5

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理,平行线的判定与性质,垂径定理,解直角三角形

专题：几何图形问题

分析：（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．

解答：（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴

BD

=

BC

，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=

3

5

，
即

BC

AB

=

3

5

，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．

点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．