Question

15．如图，二次函数y=-x²+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=-1，则b=4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2$\sqrt{10}$；
④图象上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂，
其中真命题的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①错误．由图象可知当a≤x≤b时，y≤0．
②错误．当a=-1时，b=3
③错误．△MCE的周长的最小值为2$\sqrt{10}$+2．
④正确．设x₁关于对称轴的对称点x₁′，由题意推出x₁＜1＜x₁′＜x₂，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y₂＜y₁．

解答 解：①当a≤x≤b时，y≤0．故①错误．
②$\frac{b}{-2a}$=$\frac{2}{-2×（-1）}$=1，
∴当a=-1时，b=3，故②错误．
③当m=2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，-3），
∴CE′=2$\sqrt{10}$，
∴△MCE的周长的最小值为2$\sqrt{10}$+2，故③错误．
④设x₁关于对称轴的对称点x₁′，
∴x₁′=2-x₁，
∵x₁+x₂＞2，
∴x₂＞-x₁+2，
∴x₂＞x₁′，
∵x₁＜1＜x₂，
∴x₁＜1＜x₁′＜x₂，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y₂＜y₁，∴④正确．
故选A．

点评 本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．