Question

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，以锐角顶点B在y轴上．
（1）如图（1）若点C的坐标是（2，0），点A的坐标是（-2，-2），求B点的坐标．
（2）如图（2），若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE之间有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥OC，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题；
（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，可证△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE．

解答 解：（1）如图（1）过点A作AD⊥x轴于D，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DAC，
在△ADC和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BOC=90°}\\{∠DAC=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD=OC，CD=OB，
∴点B坐标为（0，4）；

（2）如图（2）延长BC，AE交于点F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠COD}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，思路掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．