Question

6．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形（其中∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB，AC=AF），求证：EF=2AD．

Answer 1

分析 延长AD到G，使DG=AD，连接BG，CG（如图），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到ABGC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到CB=AC=AE，∠BAC+∠ABG=180°，再由已知∠BAC+∠FAE=180°，从而得到∠DAE=∠ABG，再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AE，利用SAS求证△AEF≌△ABG，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答 证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG，CG（如图）
∵BD=CD，AD=DG，
∴四边形ABGC为平行四边形．
∴GB=AC=AF，∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠FAE=180°，
∴∠DAE=∠ABG，
在△AEF与△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠EAF}\\{BG=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABG（SAS），
∴EF=AG=2AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．