21. 解析：(Ⅰ)由得函数的定义域为，

。　　　　　　　　 ………………………………　 2分

由得；由得，

∴函数的递增区间是；递减区间是。………………………………　 4分

(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增。　 ∴　

又∵，，且,

∴时,。　　　　　　 ………………………………　 6分

∵不等式恒成立, ∴，

即

∵是整数，∴。　　　　　　　

∴存在整数，使不等式恒成立。　 ……………………　 9分

(Ⅲ)由得，

令,则，

由得；由得。　

∴在上单调递减,在上单调递增.　　　 ………………………………　 11分

∵方程在上恰有两个相异的实根,

∴函数在和上各有一个零点,　　　　　　

∴，

∴实数的取值范围是　　　 …………………………　 14分

20. 解析：(Ⅰ)　 ∵ 　　　　　　　　　①

∴时, 　　　　　②　　　　　　　

　 ①─②得： ……2分

　 由及得　

_∴是首项为，公比为2的等比数列，∴　　　　　　 ………………　 4分

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　　　　………………　 5分

若为等差数列，

则则成等差数列, 　…………………………… 6分

_∴，∴　　 …………　 8分

当时，，显然成等差数列，

∴存在实数，使得数列成等差数列。　 ………………　 9分

解法二：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　………………　 5分

∴　 ……………　 7分

要使数列成等差数列，则只须，即即可。……………8分

故存在实数，使得数列成等差数列。　　 　　………………　 9分

(Ⅲ)∵　　　 ………………　 10分

∴

　　　　　　　 　　　　　…………………………………………　 12分

　　　 ∵， ∴，

∴ …14分

19. 解析：(I)由题意得，

∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.………………… 3分

设椭圆方程为 ，

则，

∴点的轨迹方程为 …………………………4分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，

短轴上的顶点为 ………6分

结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则

∴的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

(II))设，由得：

，

化简得，即　　　　　 …………………………10分

　　 而

∵点在圆内，∴

∴，　　 ………………………12分

∴，∴的取值范围为．……………14分

18. 解析：(Ⅰ)以D为坐标原点，DA、DC、DD₁分别

为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图。

则相应点的坐标分别为，，，，　　 …………1分

∴

　 ，

　　　 　　……………3分

　 　设平面、平面的法向量分别为，

　 由，

　 由，　　　 ……………5分

∴，∴

∴二面角的大小为。　　　　　　　 ……………7分

方法二： ， ∴,同理

∴，∴ 　　　　　

同理可证　　　　　　　　　　　　　 ……………3分

又,面,面　 ∴面　 ……………5分

∵平面，∴平面平面，

∴二面角的大小为。　　　　　　　 ……………7分

　(Ⅱ)证明:取的中点，连接

分别是棱中点

∴∥，，　

∴四边形为平行四边形，∴……………9分

又，

∴，平面　 ……………11分

　 ∵，∴平面平面

∵，∴直线平面　 ……………13分

(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线平面，亦可。)

17. 解：(Ⅰ)记事件为“采访3名游客中，恰有1人

持有教师证且持有学生证者最多1人”，

则该事件分为两个事件和，为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”； 为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”。

　∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率。………………6分

(Ⅱ)由于8名学生中有6名学生有学生证，∴的可能取值为1，2，3 ,则

，，， ………………10分

∴的分布列为

	1	2	3

　　 　∴ ……………………13分　

16.解析：(Ⅰ)∵，，且，

∴，　　 ………………………2分

∴或，　　　　　　　　　 ………………………………4分

∵角A是的内角,∴，∴……………………6分

(Ⅱ)∵………8分

　 ∴　　　　 …………………………9分

由得，　 …………11分

∴函数的单调递增区间为 　…………………12分

15. 解析：　 ∵，∴

∵是圆O的直径，且_，∴直径_，半径为1，∴圆O的面积为_。

14.解析：　 ∵直线θ＝过圆ρ=4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1：1。

13. 解析：45 ；74　 第n行有2n-1个数字，前n行

的数字个数为个，

　 ∵，，且1836＜2010，2025＞2010，∴2010在第45行，

又2025－2010=15，且第45行有个数字，∴2010在第89-15=74列。

12. 解析：　 输入后，第一次

运算；

第二次运算，；第三次运算

；第四次运算；第五次运算，。此时符合。