25.　　 (丰台·理·题18)

已知函数．

⑴当时，求函数的单调区间；

⑵若函数在上的最小值是求的值．

[解析]　　　　　　 函数的定义域为，

⑴∵，∴

故函数在其定义域上是单调递增的．

⑵在上，发如下情况讨论：

①当时，，函数单调递增，其最小值为，

这与函数在上的最小值是相矛盾；

②当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；

③当时，函数在上有，单调递减，

在上有，单调递增，所以函数满足最小值为

由，得．

④当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾；

⑤当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，

仍与最小值是相矛盾；

综上所述，的值为．

24.　　 (丰台·文·题18)

设．

⑴若函数在区间内单调递减，求的取值范围；

⑵若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．

[解析]　　　　　　

⑴∵函数在区间内单调递减，

∵，∴．

⑵∵函数在处有极值是，∴．

即．

∴，所以或．

当时，在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，

这与函数在处取得极小值是矛盾，

所以．

当时，在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值，

所以时，此时，在区间内函数的单调性是：

在内减，在内增．

23.　　 (宣武·理·题14)

有下列命题：

①若存在导函数，则；

②若函数，则；

③若函数，则；

④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．

其中真命题的序号是　　　　　　 ．

[解析]　　　　　　 ③；

，①错误；

，则，②错；

，③正确；

，，只需即可，是的充分不必要条件．

22.　　 (宣武·文·题14)

有下列命题：

①是函数的极值点；

②三次函数有极值点的充要条件是；

③奇函数在区间上是单调减函数．

其中假命题的序号是　　　　　 ．

[解析]　　　　　　 ①；

在上单调增，没有极值点，①错；

，有极值点的充要条件是有两个不相等的实根，，也即，②正确；

是奇函数，则，由，可得，因此，所以．当时，，故在上是单调减函数．

21.　　 (西城·理·题14)

设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．

如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是　　　 ．

如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是　　　 ．

[解析]　　　　　　 ；；

的图象如下图左所示，要使得，有；时，恒有，故即可；

由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右所示，

∵，由，故，从而，又时，恒有，故即可．

20.　　 (西城·文·题14)

设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．

现给出下列命题：

①函数为上的高调函数；

②函数为上的高调函数；

③如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是；

其中正确的命题是　　　　 ．(写出所有正确命题的序号)

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②③；

①中为减函数，故不可能是高调函数；②中，，故②正确；的图象如下图所示，要使得，有；时，恒有，故即可，③正确．

19.　　 (东城·理·题14)

如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在函数的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“Л型函数”．则下列函数：

①；　 ② ；　 ③ ，

是“Л型函数”的序号为　　　　　　　 ．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①③；

若，，则，故①满足；若，，则，，故③满足；②反例：，时，构成三角形，但，故不构成三角形．

18.　　 (丰台·理·题14)

函数图象上点处的切线与直线围成的梯形面积等于，则的最大值等于　　　　 ，此时点的坐标是　　　　　　 ．

[解析]　　　　　　 ，；

函数在点处的切线方程为

，即

它与轴的交点为，与的交点为．

于是题中梯形的面积

当时，取得最大值为，

此时点坐标为即．

17.　　 (丰台·文·题13)

已知函数，　　　　 ．

[解析]　　　　　　 ；

．

16.　　 (西城·文·题12)

已知，若，则　　　 ．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 或；

当时，由得，(正值舍)；当时，，解得．