1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin²A+sin²B+sin²C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是(　　 )

A.1 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　 C.3　 　　　　　　　　　　　　　 D.4

8. (人教A版116复习参考题B组第7题)

要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m²,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论

解:不对

设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：

　　 ，　　　　

　①×②得G²=, ∴G=

由于，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对

设计意图：基本不等式的应用。

7. (人教A版115复习参考题B组第1题)

求证：

变式1：己知都是正数，且成等比数列，

求证：

证明：

　 成等比数列，

都是正数，

设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若，求证ab与 不能都大于

证明：假设ab, (1－a) (1－b)都大于

设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

6．(人教A版115复习参考题A组第2题)

已知集合，，求.

变式1：已知A={x|x³+3x²+2x＞0}，B={x|x²+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x＞－2}，求a、b的值

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x₁，x₂］，由A∩B=(0，2］知x₂＝2，

且－1≤x₁≤0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由A∪B=(－2，+∞)知－2≤x₁≤－1　　　　　 ②

由①②知x₁＝－1，x₂＝2，

∴a＝－(x₁+x₂)＝－1，b＝x₁x₂＝－2

设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x的不等式

解：下面对参数m进行分类讨论：

①当m=时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为

②当时，原不等式可化为

，∴不等式的解为或

③当时，原不等式可化为

，

　 当时，原不等式的解集为；

　 当时，原不等式的解集为；

　 当时，原不等式无解

综上述，原不等式的解集情况为：

①当时，解为；

②当时，无解；

③当时，解为；

④当m=时，解为；

⑤当时，解为或

设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)

(1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y =+的值域为　　　　　　　　

解：y=+= (+1)+－1≥2-1=1 ，所以值域为[1, +∞)

设计意图：均值不等式的灵活应用.

变式2：设x≥0, y≥0,　 x²+=1,则的最大值为＿＿

解法一: ∵x≥0, y≥0, x²+=1　

∴==

≤==

当且仅当x=,y=(即x²= )时, 取得最大值

解法二:　 令(0≤≤)

　 则=cos=

≤=

当=,

即=时,x=,y=时，取得最大值

设计意图：均值不等式的灵活应用.

4.(人教A版105习题3.3A组第2题)

画出不等式组表示的平面区域.

变式1：点(－2，t)在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______

解：(－2，t)在2x－3y+6=0的上方，则2×(－2)－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞

设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.

变式2：求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积

解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或或或

其平面区域如图

∴面积S=×4×4=8

设计意图：不同形式的可行域的作图.

7.(★★★★★)已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

(3)若t∈R，求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

［科普美文］数学中的不等式关系

数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.

等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察-归纳-猜想-证明的思路，以数学归纳法完成证明.另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.

数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性.

等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？

6.(★★★★★)设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上单调递减；

(3)设集合A={ (x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.

5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即，0＜x≤10.每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的 z倍.

(1)设y=ax，其中a是满足≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x的值；

(2)若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.

4.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=ax²+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x₁，x₂.

(1)如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x₀，求证x₀＞－1；

(2)如果|x₁|＜2，|x₂－x₁|=2，求b的取值范围.