33.(湖北•理•18题)如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABCACBCDAB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ

(Ⅰ)求证:平面VAB⊥平面VCD

(Ⅱ)当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围;

分析:本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.

解答:解法1:(Ⅰ)是等腰三角形,又的中点,

,又底面.于是平面

平面平面平面

(Ⅱ) 过点在平面内作,则由(Ⅰ)知平面

连接,于是就是直线与平面所成的角.

中,

,在中,

即直线与平面所成角的取值范围为

解法2:(Ⅰ)以所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

于是,

从而,即

同理

.又平面

平面

平面平面

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为,平面的一个法向量为

则由

可取,又

于是

即直线与平面所成角的取值范围为

解法3:(Ⅰ)以点为原点,以所在的直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是

从而,即

同理,即

平面

平面

平面平面

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为,平面的一个法向量为

则由,得

可取,又

于是

即直线与平面所成角的取值范围为

解法4:以所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.设

(Ⅰ)

平面

平面平面平面

(Ⅱ)设直线与平面所成的角为

是平面的一个非零法向量,

,得

可取,又

于是

关于递增.

即直线与平面所成角的取值范围为

 0  51921  51929  51935  51939  51945  51947  51951  51957  51959  51965  51971  51975  51977  51981  51987  51989  51995  51999  52001  52005  52007  52011  52013  52015  52016  52017  52019  52020  52021  52023  52025  52029  52031  52035  52037  52041  52047  52049  52055  52059  52061  52065  52071  52077  52079  52085  52089  52091  52097  52101  52107  52115  447348 

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