2．万有引力定律的检验

牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律，开始时还只能是一个假设，在其后的一百多年问，由于不断被实践所证实，才真正成为一种理论．其中，最有效的实验验证有以下四方面．

⑴．地球形状的预测．牛顿根据引力理论计算后断定，地球的赤道部分应该隆起，形状像个橘子．而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠檬．

1735年，法国科学院派出两个测量队分赴亦道地区的秘鲁(纬度φ＝20°)和高纬度处的拉普兰德(φ＝66°)，分别测得两地1°纬度之长为：赤道处是110600m，两极处是111900m．后来，又测得法国附近纬度1°的长度和地球的扁率．大地测量基本证实了牛顿的预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息．

⑵．哈雷彗星的预报．英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，1682年出现的大彗星与1607年、1531年出现的大彗星实际上是同一颗彗星，并根据万有引力算出这个彗星的轨道，其周期是76年．哈雷预言，1758年这颗彗星将再次光临地球．于是，预报彗星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验．

后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实．

⑶．海王星的发现．

⑷．万有引力常量的测定．

由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的，也只有通过反复的验证，才能被人们所普遍接受．

1．万有引力定律发现的思路、方法

　　 开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律，但没能揭示出行星按此规律运动的原因．英国物理学家牛顿(公元1642-1727)对该问题进行了艰苦的探索，取得了重大突破．

　　 首先，牛顿论证了行星的运行必定受到一种指向太阳的引力．

　　 其次，牛顿进一步论证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二次方成反比．为了在中学阶段较简便地说明推理过程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨道论证的．

　　 第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦跟太阳的质量成正比．因此得出：太阳对行星的行力跟两者质量之积成正比．

最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万有引力规律赋予普遍性．

(六)设计实验步骤

题目给出实验目的，器材等，让学生写出实验步骤，或题目中给出实验步骤，但次序凌乱，其中有错误，有空缺，有多余，要求学生指出错误并纠正、补全，而后指出合理的顺序等。

例题 今有二相同材料制成的物体A和B，一卷细绳，一架天平(带砝码)，一根米尺和

一张边缘带有定滑轮的桌子，请用以上器材(可以不全用，但不能增加)设计一个测量物块和桌面间滑动摩擦系数的实验。要求写出简单的实验步骤，画出装置图，并写出摩擦系数μ的表达式。　

分析与解答 ①分别用天平称出A与B的质量m_A和m_B。②截取适当长的细绳，把A、B系在绳两端，③把A放在桌上，使B离地面适当高度h，如图所示，用直尺测出h，并将细绳拉紧，记下A在桌面上的位置。④放开B使之下落，量出A在桌面上滑动的距离x。

由动能定理得

m_Bgh -μm_Agh=(m_A+m_B ) v² / 2　　 　①

μm_Ag (x –h)= m_A v²/2　　　　　　 ②

由 ①②解得 μ= m_Bh/[(m_A+m_B )x – m_Bh]

(五)设计控制实验条件

用给定的器材测定某一物理量，要求学生写出需要控制的实验条件，控制方法及需要采取的措施等。　　　　　　　　　　　　　　　　

例题 例用下列器材测当地的重力加速度：铁架台(附夹子)，长约1．5m的细线，下坠一个200g左右的石子，秒表、米尺，为尽量减小实误差，需要采取哪些措施?控制哪些实验条件?　　

分析与解答 ①测摆长时应该悬测，而不能平测、摆长不应小于70cm，否则很难保证做简谐振动。　　　　　　　　　　　　　　　　　

②长摆与短摆的摆长差应尽可能大些，以不小于50cm为宜，这样才可以保证差值(T₁²-T₂² )的有效数字的位数不减少。　　　　　　　　

③摆球应尽可能贴近地面，以便用刻度尺来控制振幅，从而保证摆角小于5°，同时还可判断摆球是否沿直线做往复运动，避免锥摆现　 ④计时的起始、终止位置，应是摆球的平衡位置，周期的测量应用累计平均法，全振动的次数不能少于30次。 　

(四)设计实验原理　

用给定的器材测定某一物理量，要求学生写出实验原理。　　

例题 利用下列器材测当地的重力加速度、铁架台(附夹子)，长约1．5m的细线，下坠一个200g左右的石子、秒表、米尺，请写出实验原理。

分析与解答 设细线下端悬点到石子重心的距离为x，第一次实验测得摆线长为L₁，摆长为(L_l+x)，测得周期为T₁，由单摆的周期公式可得

T₁=2π√(L_l+x)／g　　 ①

将摆线长改变为L₂，对应摆线长为(L₂+x)，再测得周期为T₂，则 T₂=2π√(L₂+x)／g　　 ②

由①②消去x，解得g=4π² (L_l -L₂ )/　 (T₁²-T₂² )③

即测出长、短摆的摆线长L₁、L₂和对应的周期T₁、T₂代入③式就可算出g值。

(三)设计处理实验数据

根某一物理规律或公式，设计实验情景，并给出实验数据，打好点的纸带或在图象上描出数据点，让学生求出实验测量值，如98年的第18题，原题为：　

在LC振荡电路中，如已知电容C，并测得电路的固有振荡周期T，即可求得电感L，为了提高测量精度，需多次改变C值并测得相应的T值，现将测得的六组数据标示在以C为横坐标、T²为纵坐标的坐标纸上，即图中用“X”表示的点。

⑴T、L、C的关系为_____________　 ⑵根据图中给出的数据点作出T²与C的关系图线

⑶求得的L值是___________。

分析与解答 (1)T=2π√LC　 。　

⑵如图所示，图线应为一条直线，数据点靠近直线且均匀分布在直线两侧。　　

⑶仔细观察图象上的数据可发现，纵坐标为3位有效数字，横坐标为2位有效数字，在图象上选取两个坐标点A(1X10^一7，14．5 X　 ^一8 ) 和(3．5x10^-7， 51．0x10^-8)，则

T² 　/　 C = 1．46，L = 0．0365H

根据图上的数据点，正确读出纵，横坐标的有效数字的位数，是解答此问的关键。　

(二)设计实验方法　 题目给出实验目的、电路及一些附加条件，让学生设计实验方法，如98年的第20题，原题为：

用图中所示的电路测定未知电阻R_x的值，图中电源电动势未知，电源内阻与电流表的内阻均可忽略不计，R为电阻箱。

(1)若要测得R_x的值，R至少需要取___________个不同的数值。　　

　　 (2)若电流表每个分度表示的电流值未知，但指针偏转角度与通的电流成正比，则在用此电路测R_x时，R至少需取____________ 个不同的数值。　　

(3)若电源内阻不可忽略，能否应用此电路测量R_x ?　 答：___________。　　

照“伏安法测电阻”的实验，不同之处在于R_x上的电压U需要由电流表的示数I，与电阻箱上的对应读数R求出。

U=ε－IR　　

由欧姆定律可得

R_x=(ε－IR)/ I　 ①

由于电源电动势ε未知，故R取一个值不能求出R_x的值，必须再取一组值R′、I′同理得

R_x = (ε－I′R′)/ I ′②

由①②消去ε后解得

R_x = (I′R′- IR )/ (I－I ′)③

即R至少需要取2个不同的数值才可测出R_x的值。　

(2)电阻箱读数为R 时，设电流表的指针偏转角为θ，电流值为I，将电阻箱的阻值调为R′，使电流表指针的偏角变为2θ，此时电流表示数为I ′，则I ′=2I，将以上两种数值代人③式中可得R_x =R－2 R′，即R至少需取2个不同的数值，　

(3)设电源内阻为r，只取三个值R₁ 、R₂ 、R₃　 ，对应的电流值为I₁、I₂、I₃ 　，由闭合电路欧姆定律得　

ε = I₁(R₁ + R_x +r) ①，ε = I₂(R₂+ R_x +r) ②，ε = I₃(R₃ + R_x +r) ③

上述三个方程中显然只有三个未知量ε、R_x和r，却无法求出R_x (同学们可自己算一下)，即R无论取几个值都不能求出R_x值。

(二)设计实验电路　 根据给定的器材和实验提出的目的，画出或补全实验电路。

　　 1．电路选择原理

　　 (1)安培表内接、外接？

　　 待测电阻R_x为小电阻，(R_x与R_A可比、R_x<<R_V、或R_x<、或试探法中V示数变化显著)应采用安培表外接法；(因R_V>>R_x，伏特表的分流作用引起的安培表读数误差较小。)

　　 反之待测电阻R_x为大电阻(R_x>>R_A，R_x与R_V可比，或R_x>或试探法中A示数变化大)应采用安培表内接法。(因R_x>>R_A，安培表的分压作用引起的电压表读数误差较小。)

　　 (2)滑动变阻器限流法、分压器法？

　　 ①通常情况下优先考虑限流式，因为耗电少。

　　 ②在以下三种情况考虑分压式。

　　 A当需要待测电路的电压从零开始连续变化。

　　 B题中提供的仪表量程或电阻的最大允许电流不够(安全性原则和适用性原则)

　　 C变阻器电阻远小于被测电阻或电路中串联的其它电阻(准确性原则和方便性原则)

　　 (3)欧姆表挡位R×1、R×10、R×100如何选择？

　　 先用R×10挡，调零欧后估测，若指针在中值附近，则R_x等于10×指示值；在指针偏角太小，则换用R×100，重新调零后测量，R_x=100×指示值；若R×10时指针偏角太大，则换用R×1挡，重新调零欧后测量，R_x=指针指示值。

(4)电阻测量的电路

①伏安法测电阻和替代法　

②用欧姆表测量

此法简便易行，但读数误差较大；用久之后，内部电源发生变化，测量误差更大。因此此法只适用于要求不太高的测量。

③惠斯通电桥法

例题 如图，若uC=uD，则Rl／R2=R3／Rx，其中R1、R2为标准电阻，R3可用电阻箱代替。在C、D间接上灵敏电流计，调节R3，使电流计示数为零，则C、D两点一定为等势点。

④电桥伏安法

如图，此法利用电桥平衡原理实现伏安法测电阻。当调节C点位置使电桥平衡时，电流表示数是流过Rx的电流，电压表U的读数是两端电压，故Rx=U／I。这里完全排除了电

表内阻的影响，没有系统误差。

　　 ⑤电表内阻的测量

I. 测Rg时，用半偏法？等值替代法？电路计算法？

　　 ①若只有二只单刀单掷开关、一只待测表，还有二只电阻箱R₁<<R₂时，

只能采用半偏法，此时为了减少误差，应选电动势较大的电源，达到R₂>>R₁

(R₂>100R₁以上)；电路如下

　　 ②若有二只电流表和一只变阻器及电源单刀单掷开关等，可采用电路计算

法，此时另一只非待测表一定要已知量程和内阻R_A，电路如下：

　　 读出Fg支路I₂及I₁，由U=I₁R_A=I₂Rg，得Rg=I₁R_A/I₂

　　 ③若有二只电流表，一只电阻箱和一只单刀双掷开关、滑动变阻器可采用等

值替代法，电路如下：K接a，调R′，记下A读数，然后K接b，保持R′不变，

调R使A读数保持不变，则Rg=R。

　　 ④若有二只电流表，一只电阻箱(或定值电阻，其阻值与电流表阻值接近)

和一只单刀开关、滑动变阻器可采用电路计算法：如图，G为待测电流表，

为已知电阻，若把虚线框内电路看成一扩程电流表，则该电路为一改装表与标准

表的校对电路．设G、A表读数分别为I₁、I，则由相关知识可知：为便于器材

选取与操作，Ro的阻值应≤1Ω(如0，5Ω)

　　 II. 若欲测伏特表内阻R_V，怎么办？

　 2. 电学实验器材如何选择？

　　 a．A表量程如何选？V表量程如何选？

　　 通过估算，保证A指针偏转范围在-最佳；同样V指针偏转范围在-最佳。

　　 b．变阻器如何选？

　　 从安全性原则出发分析得，首先要求通过其最大电流小于其额定电流；从方便性和准确原则出发分析得，要求变阻器的最大阻值，在限流电路中尽量接近待测电阻或电路中串联的其它电阻，在分压电路中电阻尽量小。

　　 c．电源如何选？

　　 测电源电动势ε和内阻时，选内阻较大的旧电池；测电流计内阻Rg时，若采用半偏法测电阻时，应选电动势较大的电源，保证R₂>>R₁，以减小实验误差；在测小灯泡功率描伏安特性曲线时，在测金属的电阻率时，选电动势较小的电源；在打点计时器中选4-6V交流电压；在描等势线实验中选4-6V直流电源。

　3. 实验线路的连接

　　 分压式和限流式的接法要求：限流式是按“一上一下各一个”的原则，且使滑片处在阻值最大位置处；分压式是“一上二下”的原则，电源与开关串联以后直接接于下面两个连线柱，上面任一个接线柱引出导线和下面一个接线柱上引出导线(二线之间的电阻要小，保证初始取出的电压较小)将这两导线接至被测电路中。

　　 连线的总思路为：

　　 画出电路图→滑动变阻器连接→连接总回路→并联伏特表的电压较小。

(一)设计实验方法　 下面是测定“重力加速度”；“测定物体间动摩擦因素”及“测量干电池的电动势和内电阻”的几种方案，供参考：

　 测定重力加速度

(1)

(三)试题所列实验器材多于所需器材或试题所列实验步骤多于实际操作步骤，即实验条件须选择使用

例3 　为了测重力加速度g的值，实验室只有下列可供选择的器材：　

A、长度为1米的刻度尺；B、游标卡尺；C、连有细线的金属小球；D、低压交流电源；

E、打点计时器(包括所附的纸带、复写纸、重锤等)；F、蓄电池； G、铁架台； H、天平。　　

(1)从上面所列器材中挑选必须的器材有_____________。

(2)写出测重力和加速度的主要计算公式及简述其中的物理量的测量方法：

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

分析　 ①初审此题，最易选择用单摆法测重力的加速度，但所列实验器材中无秒表，

不能测单摆周期，故此方案不可行；②根据其它器材，可选用重锤作自由落体运动来测定重力加速度，器材齐全，但要注意：电源应选D。不需要测量质量，因而H不选，要处理纸带，因而A不可漏选；③在具体选用测量公式时，公式不是唯-的，可选用g＝v²／2h或g＝2h/t²均可。故此题应选用器材为：A、D、E、G，其它略。

例4　 为了测量一个量程为0-3V的电压表的内阻Rv(约为几KΩ)，可以采用如图所

示的电路。　

(1)在测量时，可供选择的实验步骤有：

　A、闭合开关S； B、将电阻箱R₀的阻值调到最大；

　C、将电阻箱R₀的阻值调到零；

　D、调节电阻箱R₀的阻值；使电压表指针指示1．5V，记下此时R₀的值；　

　E、调节变阻器R的滑动片P，使电压表示数为3V；　 　

　F、把变阻器R的滑动片P滑到a端； G、把变阻器R的滑动片P滑到b端；

　H、断开开关。

　把必要的、合理的实验步骤选出来，按操作顺序将字母代号填在横线上

(2)若在步骤D中，读出R0的阻值为2400Ω，则电压表的内阻R_v= ________　 ，用这种方法测出的内阻Rv与其真实内阻相比偏(大或小)。　

分析　 由(2)中提示可知，步骤D为测量过程的重要步骤，由步骤D可推断，在D之前只能是步骤E，根据E、D可以推断在E之前的步骤中可由B、C中选出C，至此，主要实验步骤已完成，其它按实验要求及操作过程可以继续完成，即实验步骤为：F、A、C、E、D、H。可见，这是一种粗略测量伏特表内阻的方法，在改变电阻箱R₀的阻值过程中，忽略了U_ap的变化，因而R_v=2400Ω，但实际上U_ap在由步骤E到步骤D过程中略微增大，故考虑误差，则只R₀<2400Ω，即测量值偏大．