2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:

如果时间A、B互斥,那么

如果时间A、B相互独立,那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式,其中R表示球的半径

球的体积公式,其中R表示球的半径

一、选择题

⑾、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为

A.      B.          C.          D.

⑿、设集合。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有

A.        B.              C.             D.

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

注意事项:

试题详情

1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

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2.第Ⅱ卷共2页,请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。

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3.本卷共10小题,共90分。

⒀、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

⒁、设,式中变量满足下列条件

则z的最大值为_____________。

⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)

⒃、设函数。若是奇函数,则__________。

⒄、(本小题满分12分)

的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。

⒅、(本小题满分12分)

A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;

(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。

⒆、(本小题满分12分)

如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,。

(Ⅰ)证明⊥;

(Ⅱ)若,求与平面ABC所成角的余弦值。

⒇、(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量。求:

(Ⅰ)点M的轨迹方程;

(Ⅱ)的最小值。

(21)、(本小题满分14分)

已知函数。

(Ⅰ)设,讨论的单调性;

(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。

(22)、(本小题满分12分)

设数列的前项的和

(Ⅰ)求首项与通项;

(Ⅱ)设,,证明:

 

 

 

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

C

B

C

A

D

B

B

B

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一、选择题

1.解:=,=,

∴ ,选B.

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2.解:函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以是的反函数,即=,∴ ,选D.

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3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为,∴ m=,选A.

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4.复数=(m2-m)+(1+m3)i是实数,∴ 1+m3=0,m=-1,选B.

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5.函数的单调增区间满足,

  ∴ 单调增区间为,选C.

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6.中,a、b、c成等比数列,且,则b=a,

=,选B.

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7.正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2,∴ 球的半径为,球的表面积是,选C.

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8.设抛物线上一点为(m,-m2),该点到直线的距离为,当m=时,取得最小值为,选A.

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9.向量、、的和。向量、、顺时针旋转后与、、同向,且,∴ ,选D.

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10.是公差为正数的等差数列,若,,则,,∴ d=3,,,选B.

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11.用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为,选B.

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12.若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有=1种;总计有,选B.

解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,

从5个元素中选出2个元素,有=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;

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从5个元素中选出3个元素,有=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;

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从5个元素中选出4个元素,有=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;

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从5个元素中选出5个元素,有=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

 

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。

13.     14. 11   15. 2400     16. 

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13.正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。

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14.,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是A(0,1),B(7,1),C(3,7),在△ABC中满足的最大值是点C,代入得最大值等于11.

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15.先安排甲、乙两人在后5天值班,有=20种排法,其余5人再进行排列,有=120种排法,所以共有20×120=2400种安排方法。

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16.,

则=,为奇函数,∴ φ=.

 

 

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三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.解: 由A+B+C=π, 得 = - , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin

=-2(sin - )2+

当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为

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18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,

P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0?A1)+P(B0?A2)+P(B1?A2)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=

, P(ξ=2)=C32×()2× =   , P(ξ=3)=( )3=

ξ

0

1

2

3

P

ξ的分布列为:

 

 

 

数学期望: Eξ=3× = .

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19.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB

(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1, 则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,-1,0). ∴?=1+(-1)+0=0  ∴AC⊥NB.

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(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(-1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1-λ,-λ),

=(0,1, ). ? = 1-λ-2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, - ), 连结BH,则=(-1,, ),

∵?=0+ - =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(-1,1,0),

∴cos∠NBH= =  =

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20.解: 椭圆方程可写为: + =1   式中a>b>0 , 且  得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:  x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=-

设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= - ,得切线AB的方程为:

y=- (x-x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .

由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)  

(Ⅱ)| |2= x2+y2,  y2= =4+ ,

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∴| |2= x2-1++5≥4+5=9.且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号.

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故||的最小值为3.

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21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e-ax.  

(?)当a=2时, f '(x)= e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数.

(?)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.

(?)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2= .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞, -)

(-,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

f(x)

f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-,)为减函数.

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(Ⅱ)(?)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1

(?)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得

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f(x)= eax≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

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22.解: (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3,… , ①  得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2.

再由①有 Sn1=an1-×2n+, n=2,3,4,…

将①和②相减得: an=Sn-Sn1= (an-an1)-×(2n+1-2n),n=2,3, …

整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得 Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2)

   = ×(2n+1-1)(2n-1)   

 Tn= = × = ×( - )

所以, = - )  = ×( - ) <

 

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