青岛市2009年高三模拟练习
数学（理科） 2009.05
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
2.
为虚数单位
的二项展开式中第七项为
A．
B．
C．
D．
3. 设
都是非零向量，那么命题“
与
共线”是命题“
”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4．如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
5. 已知各项不为
的等差数列
，满足
，数列
是等比数列，且
，则
A.
B.
C.
D.
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
看作时间
的函数，其图象可能是
 |
7. 已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
8．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是
A．
B．
C．
D．
9．如右下图，在一个长为
，宽为2的矩形
内，曲线
与
轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是
A．
B. 
C.
D.
10. 已知直线
平面
，直线
平面
，给出下列命题中
①
∥
；②
∥
；
③
∥
；④
∥.其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
11. 已知
船在灯塔
北偏东
且到的距离为
，
船在灯塔西偏北
且到的距离为
，则
两船的距离为
A. 
B. 
C. 
D.
12．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的
所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，
则不同的摆放方法为
A．
种 B．
种 C．
种 D．
种
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
 |
13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第
个图案中有白色地面砖的块数是
.
14．已知
，则
的值等于
.
15．已知函数
满足
，且
时，
，则与
的图象的交点个数为
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16．若不等式
对于一切非零实数均成立，则实数
的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量
（
为常数且
）,函数
在
上的最大值为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）把函数
的图象向右平移
个单位，可得函数
的图象，若在
上为增函数，求的最大值.
18. （本小题满分12分）
某种食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为
、
、
．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设
为加工工序中产品合格的次数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图1所示，在边长为
的正方形
中，
，且
，
,
分别交
点于
，将该正方形沿、
折叠，使得
与
重合，构成如图2所示的三棱柱
中
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）在底边
上有一点
,
,
求证：
面
(III)求直线
与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
在数列
中，
.
(Ⅰ)求证：数列
为等差数列；
(Ⅱ)设数列
满足
，若
对一切
且
恒成立，求实数
的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知函数
，直线与函数图象相切.
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设函数
，已知函数
的图象经过点
，求函数
的极值.
22. （本小题满分14分）已知两点
，点
为坐标平面内的动点，且满足
.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点
的直线斜率为，且与曲线相交于点
、
，若、两点只在第二象限内运动，线段
的垂直平分线交轴于
点，求点横坐标的取值范围.
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数学（理科）答案及评分标准 2009.05
CＡＢＢＤ，ＡＡＤＡＤ，ＢＢ
二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．
; 14．
; 15．
; 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
………3分
因为函数
在上的最大值为，所以
故
…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
把函数的图象向右平移个单位，
可得函数
…………………………………………8分
又
在上为增函数
的周期
即
所以的最大值为…………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）２袋食品都为废品的情况为
①２袋食品的三道工序都不合格
……………2分
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格
……………4分
③两袋都有两道工序不合格
所以２袋食品都为废品的概率为
……………6分
（Ⅱ）
………8分
………10分
………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为，，
所以
，从而
，即
．………………………2分
又因为
，而
，
所以
平面
又
平面
所以；………………4分
（Ⅱ）解：过作
交
于,连接
,
因为
……………6分
四边形
为平行四边形
,所以平面…………………………8分
(III)解：由图1知，
,分别以
为
轴，
则
………10分
设平面的法向量为
，
所以
得
，
令
，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为
…………………………12分
20．（本小题满分12分）
解:(Ⅰ) 由
变形得：
即
所以
…………………4分
故数列
是以
为首项，为公差的等差数列………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
…………………………6分
所以
…………………………7分
设
………………8分
则
两式相除得：
……10分
所以
是关于
的单调递增函数，则
故实数的取值范围是
…………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设切点坐标为
，由
………………………2分
则
…………………………4分
根据题意知：
，即
,所以
又
，则
,即
所以
…………………………6分
（Ⅱ）显然
的定义域为
………7分
则
………………………8分
又因为函数的图象经过点,代入
求得：
,则
……………10分
由此可知：当
时，有
，此时为单调增函数；
当
时，有
，此时为单调减函数；
所以在区间
上只有极大值即
…12分
22. （本小题满分14分）
解:(Ⅰ)设点
，根据题意则有：
代入得：
…………3分
整理得点的轨迹的方程
…………………………5分
(Ⅱ)设
由题意得:的方程为
(显然
)
与联立消元得：
…………………………7分
则有：
再由
，则
，得
………………………8分
可求得线段中点的坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
…………………………10分
令
得点横坐标为
因为直线交轨迹于两点，
，所以
………12分
所以
所以点横坐标的取值范围为
…………14分