1．不等式的解集是                                                                          （    ）

      A．（0，2）                                             B．（2，+∞）          

      C．（2，4）                                             D．（－∞，0）∪（2，+∞）

2．抛物线y=ax² 的准线方程是y=2，则a的值为                                                    （    ）

      A．                       B．－                 C．8                          D．－8

3．                                                                                                     （    ）

      A．            B．       C．             D．

4． 已知                                                          （    ）

      A．                     B．－               C．                     D．－

5．等差数列                                 （    ）

      A．48                        B．49                     C．50                        D．51

6．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F₁，F₂，∠F₁MF₂=120°，则双曲线的离心率为（    ）

      A．                     B．                 C．                    D．

7．设函数若，则x₀的取值范围是                      （    ）

      A．（－1，1）                                         B．（－1，+∞）

      C．（－∞，－2）∪（0，+∞）               D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

8．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

   则P的轨迹一定通过△ABC的           （    ）

      A．外心                    B．内心                 C．重心                    D．垂心

9．函数的反函数为                                                           （    ）

      A．                     B．

      C．                     D．

10．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（    ）

      A．                     B．                  C．                     D．

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）。若P₄与P₀重合，则tanθ=                           （    ）

      A．                       B．                    C．                       D．1

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （    ）

      A．3π                      B．4π                   C．                 D．6π

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

13．展开式中的系数是             .

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的

产品质量。现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取   

          ，          ，          辆。

15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC².”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A―BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则                                              ”。

16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种

    作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植

    方法共有                种.（以数字答）

17．（本小题满分12分）

    已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁.AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点P为BD₁中点.

   （2）求点D₁到面BDE的距离.

18．（本小题满分12分）

    已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=－x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

   （Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

   （Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

19．（本题满分12分）

    已知数列

   （Ⅰ）求

   （Ⅱ）证明

20．（本小题满分12分）

    在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

   （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

   （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.  （精确到0.001）

21．（本小题满分12分）

    已知函数是R上的偶函数，其图象关于点

    对称，且在区间上是单调函数.求的值.

22．（本小题满分14分）

    已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学试题（文史类）参考解答

1．C  2．B  3．B  4．D  5．C  6．B  7．D  8．B  9．B  10．C  11．C  12．A

13．    14．6，30，10  15．S²_△ABC+ S²_△ACD + S²_△ADB = S²_△BCD   16．42

（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM .

         ∵F为BD₁中点 ，    ∴FM∥D₁D且FM=D₁D .

         又ECCC₁且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形

         ∴EF⊥CC₁. 又CM⊥面DBD₁ .∴EF⊥面DBD₁ .

         ∵BD₁面DBD₁ . ∴EF⊥BD₁ .  故EF为BD₁ 与CC₁的公垂线.

   证法二：建立如图的坐标系，得

B（0，1，0），D₁（1，0，2），F（，，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1）.

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁ .    故EF是为BD₁ 与CC₁的公垂线.

   （Ⅱ）解：连结ED₁，有V_E－DBD1=V_D1－DBE .

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁ ，设点D₁到面BDE的距离为d.

故点D₁到平面DBE的距离为.

18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分。

   （Ⅰ）解：函数y=x²+2x的导数y′=2x+2,曲线C₁在点P（x₁,x+2x₁）的切线方程是：

y－(x+2x₁)=(2x₁+2)(x－x₁),即 y=(2x₁+2)x－x  ①

函数y=－x²+a的导数y′=－2x, 曲线C₂ 在点Q（x₂,－x+a）的切线方程是

即y－(－x+a)=－2x₂(x－x₂).   y=－2x₂x+x+a .     ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

=x+a.

消去x₂得方程  2x+2x₂+1+a=0.

若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x₁=－，此时点P与Q重合.

即当a=－时C₁和C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为  y=x－ .

   （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C₁和C₂有两条公切线

设一条公切线上切点为：P（x₁,y₁）,    Q（x₂ , y₂ ）.

其中P在C₁上，Q在C₂上，则有

x₁+x₂=－1,

y₁+y₂=x+2x₁+(－x+a)= x+2x₁－(x₁+1)²+a=－1+a .

线段PQ的中点为

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.

19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分.

   （Ⅰ）∵a₁=1 . ∴a₂=3+1=4, a₃=3²+4=13 .

   （Ⅱ）证明：由已知a_n－a_n－1=3^n－1,故

所以证得.

20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

   （Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95.

         P=0.10 ,  P=P=0.05.

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

     P（A?B?）+P（A??C）+P（?B?C）

      =P（A）?P（B）?P（）+P（A）?P（）?P（C）+P（）?P（B）?P（C）

      =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95

      =0.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176.

   （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为

         P（A??）+P（?B?）+P（??C）+ P（??）

         =0.90×0.05²+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05²

         =0.012.

   答：至少有两件不合格的概率为0.012.

解法二：三件产品都合格的概率为

P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）

=0.90×0.95²

=0.812.

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为

1－P（A?B?C）+0.176

=1－（0.812+0.176）

=0.012

答：至少有两件不合格的概率为0.012.

21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.

    解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x).

    即：   所以－

对任意x都成立，且所以得=0.

依题设0，所以解得，

由f(x)的图象关于点M对称，得.

取x=0,得=－，所以=0.

22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。

    解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

    ∵i=(1,0),c=(0,a),  ∴

    因此，直线OP和AP的方程分别为  y=ax和y－a=－2ax .

    消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (y－a)=－2a²x² ,

    整理得                  ①

    因为a>0，所以得：

   （i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

   （ii）当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E和

        为合乎题意的两个定点；

  （iii）当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F））为合乎题意的两个定点.