1．求（-1+i)²⁰展开式中第15项的数值;

2．求的导数

解：1.第15项T₁₅=

2.

        Y                 

            1         X  

        O                 

       Y                   

        1                    

        O           X     

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形

1．

2．

解：1.得2x-3y-6=0图形是直线

2.化为图形是椭圆

已知圆锥体的底面半径为R，高为H

求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）

           A                    

         D   c         H      

                     h         

B   E                     

        O                 

       2R                   

解：设圆柱体半径为r高为h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圆柱体体积

由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”对h求导由驻点解得）

五．（本题满分15分）

（要写出比较过程）

解一：当>1时，

解二：

六．（本题满分16分）

               A               

           M    P（ρ，θ）               

                           X   

     O                        

                N        B    

如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c²今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线

解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，

OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),

ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),

四边形PMON的面积

这个方程表示双曲线由题意，

动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分

七．（本题满分16分）

已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形

              B                   

         M                          

            R                     

   A          N                  

          Q          D            

      K      S                    

                 P                  

          C                        

证：连结AC，在△ABC中，

∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，

∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，连结BD可证MQ∥NP

∴MNPQ是平行四边形

取AC的中点K，连BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，

∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD与AC垂直

∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角故MNPQ是矩形

八．（本题满分18分）

          Y                   

 x²=2qy                         

                   y²=2px      

                A₁               

        O A₂  A₃         X    

抛物线y²=2px的内接三角形有两边与抛物线x²=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x²=2qy相切

解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y²=2px的内接三角形顶点为

A₁（x₁,y₁),A₂(x₂,y₂),A₃(x₃,y₃)

因此y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ ，y₃²=2px₃

其中y₁≠y₂ , y₂≠y₃ , y₃≠y₁ .

依题意，设A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，要证A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切

因为x²=2qy在原点O处的切线是y²=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点即（x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，都不能是（0，0）;又因A₁A₂与x²=2qy相切，所以A₁A₂不能与Y轴平行，即x₁≠x₂ , y₁≠-y₂,直线A₁A₂的方程是

同理由于A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，A₂A₃也不能与Y轴平行，即

x₂≠x₃, y₂≠-y₃,同样得到

由（1）（2）两方程及y₂≠0,y₁≠y₃,得y₁+y₂+y₃=0.

由上式及y₂≠0,得y₃≠-y₁，也就是A₃A₁也不能与Y轴平行今将y₂=-y₁-y₃代入（1）式得：

(3)式说明A₃A₁与抛物线x²=2qy的两个交点重合，即A₃A₁与抛物线x²=2qy相切所以只要A₁A₂，A₂A₃与抛物线x²=2qy相切，则A₃A₁也与抛物线x²=2qy相切

九．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知数列和数列其中

1．用p,q,r,n表示b_n，并用数学归纳法加以证明;

2．求

解：1.∵₁=p, _n=p_n-1,∴_n=pⁿ.

又b₁=q,

 b₂=q₁+rb₁=q(p+r),

 b₃=q₂+rb₂=q(p²+pq+r²),…

设想

用数学归纳法证明：

当n=2时，等式成立;

设当n=k时，等式成立，即

则b_k+1=q_k+rb_k=

即n=k+1时等式也成立

所以对于一切自然数n≥2，都成立